বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে

একাদশ- দ্বাদশ শ্রেণি - উচ্চতর গণিত - উচ্চতর গণিত – ১ম পত্র | NCTB BOOK

1.3k

ধাপ ১: ম্যাট্রিক্স আকারে প্রকাশ

উপরের সমীকরণগুলোকে আমরা $AX$ $=$ $B$ আকারে লিখতে পারি, যেখানে:

A=(2341),X=(xy),B=(511)<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi>A</mi><mo>=</mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mtable rowspacing="0.16em" columnalign="center center" columnspacing="1em"><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>2</mn></mstyle></mtd><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>3</mn></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>4</mn></mstyle></mtd><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>1</mn></mstyle></mtd></mtr></mtable><mo fence="true">)</mo></mrow><mo separator="true">,</mo><mspace width="1em"></mspace><mi>X</mi><mo>=</mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mtable rowspacing="0.16em" columnalign="center" columnspacing="1em"><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mi>x</mi></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mi>y</mi></mstyle></mtd></mtr></mtable><mo fence="true">)</mo></mrow><mo separator="true">,</mo><mspace width="1em"></mspace><mi>B</mi><mo>=</mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mtable rowspacing="0.16em" columnalign="center" columnspacing="1em"><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>5</mn></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>11</mn></mstyle></mtd></mtr></mtable><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A = \begin{pmatrix} 2 &#x26; 3 \\ 4 &#x26; 1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}</annotation></semantics></math>

$A$ $=$ $($ $24$ $$ $31$ $$ $)$ $,$ $X$ $=$ $($ $xy$ $$ $)$ $,$ $B$ $=$ $($ $511$ $$ $)$

তাহলে সমীকরণটি হবে:

(2341)(xy)=(511)<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mrow><mo fence="true">(</mo><mtable rowspacing="0.16em" columnalign="center center" columnspacing="1em"><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>2</mn></mstyle></mtd><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>3</mn></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>4</mn></mstyle></mtd><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>1</mn></mstyle></mtd></mtr></mtable><mo fence="true">)</mo></mrow><mrow><mo fence="true">(</mo><mtable rowspacing="0.16em" columnalign="center" columnspacing="1em"><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mi>x</mi></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mi>y</mi></mstyle></mtd></mtr></mtable><mo fence="true">)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mtable rowspacing="0.16em" columnalign="center" columnspacing="1em"><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>5</mn></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>11</mn></mstyle></mtd></mtr></mtable><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\begin{pmatrix} 2 &#x26; 3 \\ 4 &#x26; 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}</annotation></semantics></math>

$($ $24$ $$ $31$ $$ $)$ $($ $xy$ $$ $)$ $=$ $($ $511$ $$ $)$

ধাপ ২: $A$ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত নির্ণয় করা

আমাদের সমীকরণটি $AX$ $=$ $B$ আকারে, এবং $X$ -এর সমাধান পেতে হলে $X=A−1B<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>X</mi><mo>=</mo><msup><mi>A</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>B</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">X = A^{-1}B</annotation></semantics></math>$ $X$ $=$ $A$ $-1$ $B$ আকারে পুনর্লিখন করতে হবে। এজন্য প্রথমে $A$ -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স $A−1<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>A</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A^{-1}</annotation></semantics></math>$ $A$ $-1$ নির্ণয় করতে হবে।

$A$ -এর নির্ণায়ক $∣$ $A$ $∣$ নির্ণয় করা

∣A∣=(2×1)−(3×4)=2−12=−10<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>A</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>−</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>4</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>−</mo><mn>12</mn><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>10</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|A| = (2 \times 1) - (3 \times 4) = 2 - 12 = -10</annotation></semantics></math>

$∣$ $A$ $∣$ $=$ $($ $2$ $\times$ $1$ $)$ $-$ $($ $3$ $\times$ $4$ $)$ $=$ $2$ $-$ $12$ $=$ $-10$

যেহেতু $∣A∣≠0<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>A</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo mathvariant="normal">≠</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|A| \neq 0</annotation></semantics></math>$ $∣$ $A$ $∣$ $\neq$ $=$ $0$ , তাই $A$ -এর একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্স রয়েছে।

সহগুণক ও অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে $A−1<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>A</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A^{-1}</annotation></semantics></math>$ $A$ $-1$ নির্ণয় করা

প্রতিটি উপাদানের সহগুণক নির্ণয় করে এবং অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্সের মাধ্যমে $A−1<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>A</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A^{-1}</annotation></semantics></math>$ $A$ $-1$ নির্ণয় করা যায়:

A−1=1∣A∣⋅adj(A)<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><msup><mi>A</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>A</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi></mrow></mfrac><mo>⋅</mo><mtext>adj</mtext><mo stretchy="false">(</mo><mi>A</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{adj}(A)</annotation></semantics></math>

$A$ $-1$ $=$ $∣$ $A$ $∣1$ $$ $\cdot$ $adj$ $($ $A$ $)$

$A=(2341)<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>A</mi><mo>=</mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mtable rowspacing="0.16em" columnalign="center center" columnspacing="1em"><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>2</mn></mstyle></mtd><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>3</mn></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>4</mn></mstyle></mtd><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>1</mn></mstyle></mtd></mtr></mtable><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}</annotation></semantics></math>$ $A$ $=$ $($ $24$ $$ $31$ $$ $)$ এর জন্য অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স হলো:

adj(A)=(1−3−42)<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mtext>adj</mtext><mo stretchy="false">(</mo><mi>A</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mtable rowspacing="0.16em" columnalign="center center" columnspacing="1em"><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>1</mn></mstyle></mtd><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mo>−</mo><mn>4</mn></mrow></mstyle></mtd><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>2</mn></mstyle></mtd></mtr></mtable><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 &#x26; -3 \\ -4 &#x26; 2 \end{pmatrix}</annotation></semantics></math>

$adj$ $($ $A$ $)$ $=$ $($ $1-4$ $$ $-32$ $$ $)$

তাহলে,

A−1=1−10(1−3−42)=(−0.10.30.4−0.2)<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><msup><mi>A</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mo>−</mo><mn>10</mn></mrow></mfrac><mrow><mo fence="true">(</mo><mtable rowspacing="0.16em" columnalign="center center" columnspacing="1em"><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>1</mn></mstyle></mtd><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mo>−</mo><mn>4</mn></mrow></mstyle></mtd><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>2</mn></mstyle></mtd></mtr></mtable><mo fence="true">)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mtable rowspacing="0.16em" columnalign="center center" columnspacing="1em"><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mo>−</mo><mn>0.1</mn></mrow></mstyle></mtd><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>0.3</mn></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>0.4</mn></mstyle></mtd><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mo>−</mo><mn>0.2</mn></mrow></mstyle></mtd></mtr></mtable><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A^{-1} = \frac{1}{-10} \begin{pmatrix} 1 &#x26; -3 \\ -4 &#x26; 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.1 &#x26; 0.3 \\ 0.4 &#x26; -0.2 \end{pmatrix}</annotation></semantics></math>

$A$ $-1$ $=$ $-101$ $$ $($ $1-4$ $$ $-32$ $$ $)$ $=$ $($ $-0.10.4$ $$ $0.3-0.2$ $$ $)$

ধাপ ৩: $X=A−1B<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>X</mi><mo>=</mo><msup><mi>A</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>B</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">X = A^{-1}B</annotation></semantics></math>$ $X$ $=$ $A$ $-1$ $B$ ব্যবহার করে সমাধান নির্ণয়

এখন $X=A−1B<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>X</mi><mo>=</mo><msup><mi>A</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>B</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">X = A^{-1}B</annotation></semantics></math>$ $X$ $=$ $A$ $-1$ $B$ ব্যবহার করে $X$ -এর মান নির্ণয় করা যাক:

X=(−0.10.30.4−0.2)(511)<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi>X</mi><mo>=</mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mtable rowspacing="0.16em" columnalign="center center" columnspacing="1em"><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mo>−</mo><mn>0.1</mn></mrow></mstyle></mtd><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>0.3</mn></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>0.4</mn></mstyle></mtd><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mo>−</mo><mn>0.2</mn></mrow></mstyle></mtd></mtr></mtable><mo fence="true">)</mo></mrow><mrow><mo fence="true">(</mo><mtable rowspacing="0.16em" columnalign="center" columnspacing="1em"><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>5</mn></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>11</mn></mstyle></mtd></mtr></mtable><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex">X = \begin{pmatrix} -0.1 &#x26; 0.3 \\ 0.4 &#x26; -0.2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}</annotation></semantics></math>

$X$ $=$ $($ $-0.10.4$ $$ $0.3-0.2$ $$ $)$ $($ $511$ $$ $)$

গুণফল নির্ণয় করে পাই:

X=((−0.1×5)+(0.3×11)(0.4×5)+(−0.2×11))<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi>X</mi><mo>=</mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mtable rowspacing="0.16em" columnalign="center" columnspacing="1em"><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mo>−</mo><mn>0.1</mn><mo>×</mo><mn>5</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>0.3</mn><mo>×</mo><mn>11</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mn>0.4</mn><mo>×</mo><mn>5</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mo>−</mo><mn>0.2</mn><mo>×</mo><mn>11</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mstyle></mtd></mtr></mtable><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex">X = \begin{pmatrix} (-0.1 \times 5) + (0.3 \times 11) \\ (0.4 \times 5) + (-0.2 \times 11) \end{pmatrix}</annotation></semantics></math>

$X$ $=$ $($ $($ $-0.1$ $\times$ $5$ $)$ $+$ $($ $0.3$ $\times$ $11$ $)$ $($ $0.4$ $\times$ $5$ $)$ $+$ $($ $-0.2$ $\times$ $11$ $)$ $$ $)$ $=(−0.5+3.32−2.2)=(2.8−0.2)<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mo>=</mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mtable rowspacing="0.16em" columnalign="center" columnspacing="1em"><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mo>−</mo><mn>0.5</mn><mo>+</mo><mn>3.3</mn></mrow></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mn>2</mn><mo>−</mo><mn>2.2</mn></mrow></mstyle></mtd></mtr></mtable><mo fence="true">)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mtable rowspacing="0.16em" columnalign="center" columnspacing="1em"><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mn>2.8</mn></mstyle></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle scriptlevel="0" displaystyle="false"><mrow><mo>−</mo><mn>0.2</mn></mrow></mstyle></mtd></mtr></mtable><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex">= \begin{pmatrix} -0.5 + 3.3 \\ 2 - 2.2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2.8 \\ -0.2 \end{pmatrix}</annotation></semantics></math>$ $=$ $($ $-0.5$ $+$ $3.32$ $-$ $2.2$ $$ $)$ $=$ $($ $2.8-0.2$ $$ $)$

সমাধান

অতএব, সমীকরণ সিস্টেমের সমাধান হলো:

x=2.8,y=−0.2<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>2.8</mn><mo separator="true">,</mo><mspace width="1em"></mspace><mi>y</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>0.2</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">x = 2.8, \quad y = -0.2</annotation></semantics></math>

$x$ $=$ $2.8$ $,$ $y$ $=$ $-0.2$

এইভাবে, বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে একঘাত সমীকরণের সমাধান করা যায়।

Content added By

Sheikh Shakib Bin Shofiq

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

1.
$|\begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & - 1 & P \end{matrix}|$ ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হলে P এর মান কত?

$\frac{4}{3}$

$\frac{3}{4}$

$\frac{5}{3}$

$\frac{3}{5}$

উচ্চতর গণিত ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক ম্যাট্রিক্সের সমতা, যোগ, বিয়োগ ও গুণ ম্যাট্রিক্স ও ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ম্যাট্রিক্সের সরল বর্গম্যট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে

প্রশ্ন তৈরি করুন View All (1)

ক্রেমারের নিয়মে

বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে

ধাপ ১: ম্যাট্রিক্স আকারে প্রকাশ

ধাপ ২: $A$ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত নির্ণয় করা

$A$ -এর নির্ণায়ক $∣$ $A$ $∣$ নির্ণয় করা

সমাধান

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

1.
$|\begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & - 1 & P \end{matrix}|$ ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হলে P এর মান কত?

Promotion

Satt AI

Hi, আমি SATT AI!

Hi, আমি SATT AI!

বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে

ধাপ ১: ম্যাট্রিক্স আকারে প্রকাশ

ধাপ ২: A<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>A</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A</annotation></semantics></math>A ম্যাট্রিক্সের বিপরীত নির্ণয় করা

সমাধান

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

All Notifications

Promotion

Satt AI

Hi, আমি SATT AI!

Hi, আমি SATT AI!

ধাপ ২: $A$ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত নির্ণয় করা