বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে

একাদশ- দ্বাদশ শ্রেণি - উচ্চতর গণিত - উচ্চতর গণিত – ১ম পত্র | NCTB BOOK

1.3k

ধাপ ১: ম্যাট্রিক্স আকারে প্রকাশ

উপরের সমীকরণগুলোকে আমরা $AX = B$ $AX$ $=$ $B$ আকারে লিখতে পারি, যেখানে:

A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}

$A$ $=$ $($ $24$ $$ $31$ $$ $)$ $,$ $X$ $=$ $($ $xy$ $$ $)$ $,$ $B$ $=$ $($ $511$ $$ $)$

তাহলে সমীকরণটি হবে:

\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}

$($ $24$ $$ $31$ $$ $)$ $($ $xy$ $$ $)$ $=$ $($ $511$ $$ $)$

ধাপ ২: $A$ $A$ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত নির্ণয় করা

আমাদের সমীকরণটি $AX = B$ $AX$ $=$ $B$ আকারে, এবং $X$ $X$ -এর সমাধান পেতে হলে $X = A^{-1}B$ $X$ $=$ $A$ $-1$ $B$ আকারে পুনর্লিখন করতে হবে। এজন্য প্রথমে $A$ $A$ -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স $A^{-1}$ $A$ $-1$ নির্ণয় করতে হবে।

$A$ $A$ -এর নির্ণায়ক $|A|$ $∣$ $A$ $∣$ নির্ণয় করা

|A| = (2 \times 1) - (3 \times 4) = 2 - 12 = -10

$∣$ $A$ $∣$ $=$ $($ $2$ $\times$ $1$ $)$ $-$ $($ $3$ $\times$ $4$ $)$ $=$ $2$ $-$ $12$ $=$ $-10$

যেহেতু $|A| \neq 0$ $∣$ $A$ $∣$ $\neq$ $=$ $0$ , তাই $A$ $A$ -এর একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্স রয়েছে।

সহগুণক ও অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে $A^{-1}$ $A$ $-1$ নির্ণয় করা

প্রতিটি উপাদানের সহগুণক নির্ণয় করে এবং অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্সের মাধ্যমে $A^{-1}$ $A$ $-1$ নির্ণয় করা যায়:

A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{adj}(A)

$A$ $-1$ $=$ $∣$ $A$ $∣1$ $$ $\cdot$ $adj$ $($ $A$ $)$

$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$ $A$ $=$ $($ $24$ $$ $31$ $$ $)$ এর জন্য অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স হলো:

\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}

$adj$ $($ $A$ $)$ $=$ $($ $1-4$ $$ $-32$ $$ $)$

তাহলে,

A^{-1} = \frac{1}{-10} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.1 & 0.3 \\ 0.4 & -0.2 \end{pmatrix}

$A$ $-1$ $=$ $-101$ $$ $($ $1-4$ $$ $-32$ $$ $)$ $=$ $($ $-0.10.4$ $$ $0.3-0.2$ $$ $)$

ধাপ ৩: $X = A^{-1}B$ $X$ $=$ $A$ $-1$ $B$ ব্যবহার করে সমাধান নির্ণয়

এখন $X = A^{-1}B$ $X$ $=$ $A$ $-1$ $B$ ব্যবহার করে $X$ $X$ -এর মান নির্ণয় করা যাক:

X = \begin{pmatrix} -0.1 & 0.3 \\ 0.4 & -0.2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}

$X$ $=$ $($ $-0.10.4$ $$ $0.3-0.2$ $$ $)$ $($ $511$ $$ $)$

গুণফল নির্ণয় করে পাই:

X = \begin{pmatrix} (-0.1 \times 5) + (0.3 \times 11) \\ (0.4 \times 5) + (-0.2 \times 11) \end{pmatrix}

$X$ $=$ $($ $($ $-0.1$ $\times$ $5$ $)$ $+$ $($ $0.3$ $\times$ $11$ $)$ $($ $0.4$ $\times$ $5$ $)$ $+$ $($ $-0.2$ $\times$ $11$ $)$ $$ $)$ $= \begin{pmatrix} -0.5 + 3.3 \\ 2 - 2.2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2.8 \\ -0.2 \end{pmatrix}$ $=$ $($ $-0.5$ $+$ $3.32$ $-$ $2.2$ $$ $)$ $=$ $($ $2.8-0.2$ $$ $)$

সমাধান

অতএব, সমীকরণ সিস্টেমের সমাধান হলো:

x = 2.8, \quad y = -0.2

$x$ $=$ $2.8$ $,$ $y$ $=$ $-0.2$

এইভাবে, বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে একঘাত সমীকরণের সমাধান করা যায়।

Content added By

Sheikh Shakib Bin Shofiq

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

1.
$|\begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & - 1 & P \end{matrix}|$ ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হলে P এর মান কত?

\frac{4}{3}

\frac{3}{4}

\frac{5}{3}

\frac{3}{5}

উচ্চতর গণিত ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক ম্যাট্রিক্সের সমতা, যোগ, বিয়োগ ও গুণ ম্যাট্রিক্স ও ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ম্যাট্রিক্সের সরল বর্গম্যট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে

প্রশ্ন তৈরি করুন View All (1)

ক্রেমারের নিয়মে

বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে

ধাপ ১: ম্যাট্রিক্স আকারে প্রকাশ

ধাপ ২: $A$ $A$ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত নির্ণয় করা

$A$ $A$ -এর নির্ণায়ক $|A|$ $∣$ $A$ $∣$ নির্ণয় করা

সহগুণক ও অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে $A^{-1}$ $A$ $-1$ নির্ণয় করা

ধাপ ৩: $X = A^{-1}B$ $X$ $=$ $A$ $-1$ $B$ ব্যবহার করে সমাধান নির্ণয়

সমাধান

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

1.
$|\begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & - 1 & P \end{matrix}|$ ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হলে P এর মান কত?

Promotion

Satt AI

Hi, আমি SATT AI!

বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে

ধাপ ১: ম্যাট্রিক্স আকারে প্রকাশ

ধাপ ২: AAA ম্যাট্রিক্সের বিপরীত নির্ণয় করা

AAA-এর নির্ণায়ক ∣A∣|A|∣A∣ নির্ণয় করা

সহগুণক ও অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে A−1A^{-1}A−1 নির্ণয় করা

ধাপ ৩: X=A−1BX = A^{-1}BX=A−1B ব্যবহার করে সমাধান নির্ণয়

সমাধান

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

1. 1322031-1P ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হলে P এর মান কত?

All Notifications

Promotion

Satt AI

Hi, আমি SATT AI!

ধাপ ২: $A$ $A$ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত নির্ণয় করা

$A$ $A$ -এর নির্ণায়ক $|A|$ $∣$ $A$ $∣$ নির্ণয় করা

সহগুণক ও অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে $A^{-1}$ $A$ $-1$ নির্ণয় করা

ধাপ ৩: $X = A^{-1}B$ $X$ $=$ $A$ $-1$ $B$ ব্যবহার করে সমাধান নির্ণয়

1.
$|\begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & - 1 & P \end{matrix}|$ ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হলে P এর মান কত?